Μαθηματική Ανάλυση ΙΙ

Εισαγωγή: Ο Ευκλείδειος χώρος Rⁿ. Η τοπολογία του R^m. Ακολουθίες. Συναρτήσεις μεταξύ Ευκλειδίων χώρων, γραφική τους αναπαράσταση, ισοσταθμικές. Όριο και συνέχεια συναρτήσεων. Συνεκτικά και δρομοσυνεκτικά σύνολα. Παράγωγοι Διανυσματικών Συναρτήσεων μιας Μεταβλητής: Παράγωγοι διανυσματικών συναρτήσεων μιας μεταβλητής. Εφαρμογές στη Διαφορική Γεωμετρία και τη Μηχανική. (Frenet, καμπυλότητα, στρέψη). Οι καμπυλόγραμμες συντεταγμένες και τα αντίστοιχα μοναδιαία διανύσματα τους. Παράγωγοι Συναρτήσεων Rⁿ R^m: Μερική παράγωγος. Μερικές παράγωγοι ανωτέρας τάξης. Θεώρημα Schwarz, Παράγωγος κατά κατεύθυνση. Διαφορίσιμες συναρτήσεις, σχετικά θεωρήματα, Διαφορικό 1^ης τάξης και βέλτιστη γραμμική προσέγγιση, εφαπτόμενο επίπεδο επιφάνειας. Παράγωγος σύνθεσης και εφαρμογές. Κλίση (gradient) πραγματικής συνάρτησης. Απόκλιση και στροβιλισμός, Λαπλασιανή, Γραμμές ροής Διαν. Πεδίου, Υλική παράγωγος (material derivative). Θεώρημα μέσης τιμής. Διαφορικά ανώτερης τάξης Τύπος Taylor. Θεώρημα αντίστροφης συνάρτησης. Πεπλεγμένες συναρτήσεις. Συναρτησιακή εξάρτηση. Ακρότατα: Ακρότατα συναρτήσεων. Δεσμευμένα ακρότατα. Πολλαπλασιαστές Lagrange.