Πραγματική Ανάλυση
Κωδικός: | 9053 |
Κατηγορία: | Υποχρεωτικό |
Κατεύθυνση: | Μαθηματικού Εφαρμογών |
Εξάμηνο: | 6ο |
Ώρ./εβδ.: | 4 |
Ιστότοπος Μαθήματος: | mycourses.ntua.gr/courses/SEMFE1046 |
Σχολή: | ΣΠΜ |
Περιγραφή Μαθήματος
Πραγματικοί αριθμοί: Φυσικοί αριθμοί, Αξιώματα Peano, Ακέραιοι, Ρητοί, Πραγματικοί αριθμοί, ιδιότητες, Τομές Dedekind. Μετρικοί χώροι: Ορισμός, παραδείγματα, μετρικές σε διανυσματικούς χώρους που ορίζονται από νόρμες. Ακολουθίες και συναρτήσεις: Σύγκλιση ακολουθιών, Συνεχείς συναρτήσεις. Ανοικτά και κλειστά υποσύνολα μετρικών χώρων: Σημεία συσσώρευσης ενός συνόλου, Ανοικτά και κλειστά υποσύνολα, Χαρακτηρισμοί συνέχειας, Ισοδύναμες μετρικές. Πυκνά υποσύνολα και διαχωρίσιμοι μετρικοί χώροι: Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα, Λήμμα Zorn, Πυκνά υποσύνολα και διαχωρίσιμοι μετρικοί χώροι, Βάσεις περιοχών. Πλήρεις μετρικοί χώροι: Πληρότητα, θεώρημα Baire, Ομοιόμορφα συνεχείς συναρτήσεις. Συμπαγείς μετρικοί χώροι: Ιδιότητες συμπαγών χώρων, συνεχείς συναρτήσεις σε συμπαγείς μετρικούς χώρους, συνεκτικότητα. Ολικά φραγμένα υποσύνολα μετρικών χώρων. Ακολουθίες συναρτήσεων: Κατά σημείο σύγκλιση, ομοιόμορφη σύγκλιση ακολουθίας πραγματικών συναρτήσεων. Οι χώροι C[a,b]: Διανυσματικοί χώροι με νόρμα, Ο διανυσματικός χώρος C[a,b], Ισοσυνεχείς οικογένειες συναρτήσεων, θεώρημα Arzela. Γινόμενα Μετρικών χώρων: Πεπερασμένα και άπειρα αριθμήσιμα γινόμενα μετρικών χώρων, το σύνολο Cantor.