Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις II

Διαφορικές Εξισώσεις 1ης τάξης: H σχεδόν γραμμική εξίσωση, πρόβλημα Cauchy, ύπαρξη, μοναδικότητα, προβλήματα αρχικών τιμών. Εξίσωση Laplace: Αρμονικές συναρτήσεις, αρχή μεγίστου, μοναδικότητα λύσεων συνοριακών προβλημάτων Dirichlet – Neumann. Εισαγωγή στη θεωρία των γενικευμένων συναρτήσεων: Ορισμός, κατανομές που προέρχονται από ολοκληρώσιμες συναρτήσεις, συνάρτηση Dirac, συνάρτηση Heaviside, γενικευμένες παράγωγοι. Ολοκληρωτικές αναπαραστάσεις λύσεων για την εξίσωση Laplace: Θεμελιώδης λύση για την εξίσωση Laplace, συνάρτηση Green, μέθοδος των ειδώλων για ημιεπίπεδα και ημιχωρία, δίσκους και σφαίρες. Η εξίσωση κύματος: Εισαγωγή στην κυματική διάδοση, επίπεδα και σφαιρικά κύματα, προβλήματα αρχικών και συνοριακών τιμών, χαρακτηριστικός κώνος και ενεργειακά θεωρήματα, η μέθοδος των σφαιρικών μέσων και η αρχή Huygens. Η εξίσωση θερμότητος: Το πρόβλημα αρχικών τιμών, η αρχή μεγίστου, μοναδικότητα και ομαλοποίηση λύσης, ολοκληρωτική αναπαράσταση λύσης, πρόβλημα αρχικών και συνοριακών τιμών.